什么是加减法的运算规律——探索加法表与减法表的意义

作者: 王 永|来源:| 点击数:18605 |时间:2012/3/29 17:29:04

一年级学习加法时,曾经结合现实情境探讨过“两数相加可以交换两个加数的位置,得数不变”的规律;但没有探讨过加法结合律。在第一学段没有加法交换律、加法结合律等概念,那么如何解释加法或减法的算理呢?

事实上,在计算教学中,应该尽早引导学生去探索、发现比交换律和结合律更丰富、更本原的加减法的运算规律。这些运算规律的重要性不仅在于它们是探索加减法算法的重要基础,而且探索和应用这些运算规律也是培养学生的数感、运算能力的重要途径。

什么是加减法的运算规律

10以内的加法表中蕴含着加法的运算规律,所以利用加法表可以探索、发现加法的运算规律。

⒈如果看加法表的每一列,可以发现:

两数相加,其中一个加数减少1,另一个加数增加1,和不变。

两数相加,其中一个加数减少2,另一个加数增加2,和不变。

两数相加,其中一个加数减少3,另一个加数增加3,和不变。

……

一般地说,两数相加,其中一个加数减少一个数,另一个加数增加这个数,和不变。如,

相同的数量之间可以相互替代,所以上面的等式与下面的等式是等价的:

6+3+1=6+3+1

即:两数相加,把其中一个加数的一部分,转移到另一个加数上,和不变。

上述加法的运算规律可称为“和不变规律”。它已经把加法结合律蕴含其中。

事实上,加法交换律也是“和不变规律”的特殊形式。

                 

⒉如果看加法表的每一横行或斜行,可以发现:

两数相加,其中一个加数不变,另一个加数增加(或减少)一个数,和也要增加(或减少)同一个数。

加法的这条运算规律称为“加法的单调性”。

根据加法的单调性,可以建立从已知算式推出未知算式的模式。

如,由10+5=15,推出9+5=14。(或者9+5=10+5-1=14

同理,利用减法表可以探索、发现减法如下的运算规律。

两数相减,如果被减数和减数都增加(或减少)同一个数,差不变。

两数相减,被减数不变,减数增加(或减少)一个数。差反而减少(或增加)同一个数。

两数相减,减数不变,被减数增加(或减少)一个数,差也增加(或减少)同一个数。

总之,探索加法与减法的运算规律,就是探索“和”或“差”的变或不变的变化规律。一年级小学生在老师的引导下是能够发现这些运算规律的。

什么是加减法的算理

从真正意义上探索加法与减法的计算方法,是从学习20以内进位加法与退位减法开始的。

探索9+5算法的过程,有三个水平。

第一水平是学生的现有水平。学过10以内的加减法,每个人都应知应会“加法是继续往下数的计算策略”,通过计数得到9+5=14

第二水平是在学生最近发展区的框架内,借助计数工具(小棒)的直观操作,探索9+5=14的新算法,并用算式记录这些算法的过程与结果。在这个水平上,算式只是作为记录算法过程与结果的工具,它还没有成为学生的思维对象。

算法1

算法2

算法3:借来1根小棒,与9根小棒凑成10根;最后再还掉这根小棒。

第三水平是脱离小棒(去情境化),把直观操作水平的活动结果作为分析的对象,解释每一种算法过程与结果的合理性。也就是把算式9+5直接作为思维对象,用抽象的数字进行思考,根据运算规律进行运算。例如:

算法19+5=9+1+4   (和不变规律)

              =10+4=14

算法29+5=4+5+5   (和不变规律)

              =4+10

算法39+5=10+5-1     (加法单调性)

              =15-1=14

算法与算理互为表里。加法或减法的算理,就是加法或减法的计算必须遵循的运算规律。

当下小学的数学课程与教学,仅达到第二水平。说达到了第二水平,是因为学生也懂得怎么算了;达不到第三水平,是因为学生知其然并不知其所以然。虽然有些学生能够自发地发现和应用运算规律进行计算,但还是需要通过算法的交流与讨论,进一步来明确这些运算规律。

弗赖登塔尔反复强调学习过程中的重要问题是不连续性,即跳跃性。他说,“学习过程是由各种水平来构造的。较低水平的活动,也就是说通过在这个水平上可用的方法组织的活动,成为较高水平上分析的一个对象;较低水平的可操作的内容成为下一水平的学科内容。学生学习通过数学的方法来组织,学习把他自发的活动数学化”。(《数学教育再探索》p132

事实上,经历结合具体情境的探索活动与经历“去情境化”的探索活动,对思维水平的要求是不同的,个体从中得到的体验也是不同的。加强第三水平的探索活动的方法,就是把第二水平上静止的直观的(可操作的)活动变成有意识的反思的对象,把反思作为联结两个水平间的纽带和水平提高的手段。

评论

暂无评论!

评论 (网友评论仅供其表达个人看法, 并不表明本站同意其观点或证实其描述)